「鬱陶しい」のニュアンスを英語で表現するのは意外と難しいですね。日本語の微妙なニュアンスを捉えるには、状況によって使い分ける必要があります。
例えば、誰かがしつこく話しかけてくる場合なら 'annoying' がピッタリです。でも、天気が蒸し暑くて気分が優れない時は 'oppressive' や 'stifling' といった形容詞の方がしっくりきます。
特に面白いのは 'pesky' という表現で、ちょっと軽めの鬱陶しさを表す時に使えます。子どもの頃、妹がいつも私のおもちゃをいじって鬱陶しかったな、と思い出しました。そんな時は 'My little sister was being so pesky!' って言うのが自然です。
英語で「気まずい」を表現する場合、状況によって使い分ける必要があるよね。例えば、友達との会話で微妙な空気になった時は『awkward』がピッタリ。『The silence after his joke was so awkward』みたいに使える。
もう少しフォーマルな場面では『uncomfortable』も使えるけれど、物理的な不快感を含む場合もあるから注意が必要。『The meeting became uncomfortable when they started arguing』という感じ。
若者同士のカジュアルな会話なら『cringe』も流行っている表現。誰かが無理やり面白くしようとして失敗した時なんかは『That was so cringe』って言うよね。微妙なニュアンスの違いを楽しみながら使ってみると良いよ。