Twitterの動画を保存する方法はいくつかありますが、最も手軽なのは専用のダウンロードサイトを利用することでしょう。'Twitter Video Downloader'のようなサービスに動画のURLを貼り付けるだけで、MP4形式で保存可能です。
注意点としては、著作権を遵守することが大切。個人利用の範囲内で楽しむ分には問題ないですが、二次配布や商用利用は避けるべき。また、スマホアプリの『TweetSave』なども便利で、AndroidならAPKから直接インストールできます。画質を選べるサービスを選ぶと、より高品質な保存が可能。