英語で『惚気る』を表現するなら、'brag about one's relationship'が近いかもしれませんが、ニュアンスが少し違いますね。恋人自慢をするときは、'show off my partner'と言うと自然です。
海外ドラマ『Friends』でモニカがチャンドラーについて『He's just perfect』と言うシーンがありますが、あれがまさに惚気る瞬間。カジュアルな会話では『I can't stop talking about how amazing my boyfriend is』みたいなフレーズも使えます。大切なのは、相手の良いところを具体的に語ること。『He makes me laugh every day』とか、『She remembers all the little things』とか、海外でも共感を得やすいですよ。