ツイッターの魚拓を取る方法はいくつかありますね。まずスクリーンショット機能を使うのが手軽で、スマホでも簡単にできます。iPhoneならサイドボタンと音量アップを同時押し、Androidだと電源ボタンと音量ダウンが一般的です。
もう少し正式な記録として残したい場合は、Webページ全体をPDF化するアプリが便利です。『WebCapture』や『Save as PDF』といったアプリなら、ツイートを含むページ全体を一枚の画像やPDFに保存できます。ツイートが削除される可能性を考えると、こちらの方が確実かもしれません。
気をつけたいのは、他人のツイートを無断で拡散しないよう配慮すること。記録として個人で保管する分には問題ないですが、公開する場合は著作権やプライバシーに注意が必要です。