คุณจะพิสูจน์ว่าสแควรูท 3 เป็นจำนวนอตรรกยะได้อย่างไร?

มาลองพิสูจน์แบบคลาสสิกด้วยการสมมติแบบขัดแย้งกันดู: สมมติว่ารากที่สองของ 3 เป็นจำนวนตรรกยะ หมายความว่าสามารถเขียนในรูปเศษส่วนที่เป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นให้มีจำนวนเต็มบวกสองจำนวน p และ q ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจาก 1 (คือเป็นรูปย่อยสุด) และ

ให้ √3 = p/q โดย q ≠ 0 การยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 3 = p^2 / q^2 หรือเท่ากับ p^2 = 3 q^2 นี่เป็นสมการสำคัญที่จะใช้สังเกตคุณสมบัติการหารด้วย 3 ของพจน์ทั้งสองด้าน

จากสมการ p^2 = 3 q^2 เห็นได้ชัดว่า p^2 หารด้วย 3 ลงตัว นั่นหมายความว่าพจน์ p^2 มีตัวประกอบ 3 อยู่ อย่างไรก็ตาม เมื่อตรวจดูว่าการหารด้วย 3 กระทบกับจำนวนเต็มอย่างไร เราทราบว่าสำหรับจำนวนเต็มใด ๆ การเหลือเศษเมื่อหารด้วย 3 อาจเป็น 0, 1 หรือ 2 และกำลังสองของตัวที่เหลือเศษ 1 หรือ 2 ให้ผลลัพธ์ที่เหลือเศษเป็น 1 เสมอ ดังนั้นถ้า p ไม่ถูกหารด้วย 3 (คือเหลือเศษ 1 หรือ 2) จะทำให้ p^2 เหลือเศษ 1 เมื่อหารด้วย 3 ซึ่งขัดแย้งกับข้อสังเกตแรกที่ว่าพจน์นั้นหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นต้องสรุปว่า p หารด้วย 3 ได้จริง หมายความว่า p = 3k สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ

แทนค่า p = 3k กลับเข้าไปในสมการ p^2 = 3 q^2 จะได้ (3k)^2 = 3 q^2 หรือ 9 k^2 = 3 q^2 หารทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ q^2 = 3 k^2 ซึ่งบอกว่า q^2 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น q ก็ต้องหารด้วย 3 เช่นกัน นี่นำมาซึ่งความขัดแย้งโดยตรงกับสมมติฐานเริ่มแรกที่ว่า p และ q ไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจาก 1 เพราะตอนนี้ทั้งคู่มีตัวประกอบร่วมคือ 3 จึงไม่เป็นไปได้ที่ทั้ง p และ q จะลดรูปจนสุดแล้วตามสมมติฐานเดิม ผลสรุปคือสมมติฐานว่า √3 เป็นจำนวนตรรกยะทำให้เกิดความขัดแย้ง ดังนั้นรากที่สองของ 3 ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

มองอีกมุมหนึ่งด้วยแนวคิดการวิเคราะห์ตัวประกอบเฉพาะตัวหรือกฎการแจกแจงของปัจจัยเฉพาะ ตัวประกอบเฉพาะของ p^2 จะมีดัชนีกำลังเป็นเลขคู่สำหรับทุกปัจจัยเฉพาะ เพราะเป็นกำลังสอง ในขณะที่เมื่อเขียน 3 q^2 การมีตัวประกอบ 3 ที่ด้านซ้ายทำให้จำนวนกำลังของปัจจัย 3 ในสมการฝั่งหนึ่งเป็นจำนวนคี่ซึ่งไม่สามารถเท่ากับจำนวนคู่จาก p^2 ได้ นี่คืออีกวิธีที่ชี้ให้เห็นการขัดแย้งเชิงโครงสร้างและยืนยันผลเดิมได้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การพิสูจน์แบบนี้เป็นตัวอย่างที่ชอบมาก เพราะมันชัดเจนและใช้ไอเดียง่าย ๆ อย่างการพิจารณาการหารด้วยจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวแล้วนำไปสู่ข้อสรุปที่แข็งแรง ทำให้รู้สึกว่าคณิตศาสตร์มีความงามตรงที่เหตุผลเรียบง่ายสามารถขจัดความเป็นไปได้ทั้งหมดและยืนยันความจริงได้อย่างเด็ดขาด