日本語の『てんてこ舞い』にぴったりの英語表現は 'running around like a headless chicken' かな。無計画に慌ただしく動き回る様子を表す表現で、ビジネスシーンでも使えます。
例えば、四半期末の締め切り直前でチームがバタバタしている時、'The team was running around like headless chickens trying to meet the deadline' と言えば、かなり状況が伝わります。
この表現の面白いところは、そのビジュアル性。首のない鶏が走り回るというシュールなイメージが、混乱した状況をとてもよく表しています。'Swamped' や 'overwhelmed' よりもユーモアがあり、状況を軽く伝えたい時に便利。
ただし、フォーマルな場面では 'extremely busy' や 'in a frenzy' の方が適切かもしれません。クライアントとのミーティングで 'We're running around like headless chickens' と言うのは、少しカジュアルすぎるかもしれないので、TPOを考えて使い分けるのがポイントです。