「申し出る」という日本語のニュアンスを英語で表現するのは結構難しいですね。この言葉には「自発的に何かを提供する」という能動性と、「相手のために行動を起こす」という配慮の両方が含まれています。
英語で最も近いのはおそらく 'offer' でしょうが、文脈によっては 'propose' や 'volunteer' とも訳せます。例えば、'He offered to help with the project' は「彼はプロジェクトを手伝うと申し出た」と訳せます。
面白いことに、日本語の「申し出る」には少し謙遜な響きがありますが、英語の 'offer' はもっと直接的な印象を与えます。文化的な違いが言葉の選択にも影響しているのが興味深い点です。