研究者はモンティホール 問題で交換した方が勝率が上がる理由をどう説明しますか？

確かにこの問題は直感に反するところがあるが、具体的に状況を追ってみると腑に落ちる部分がある。

僕はまず三つのドアをA、B、Cと名付けて、自分がAを選んだと想定する。車がどのドアの裏にあるかは等確率で、Aにある確率は1/3だ。司会者は必ず、残りの二つのうち車ではないドア（ヤギのドア）を一つ開けるというルールを守る。ここが決定的で、司会者が無作為にドアを開けるのではなく、情報を持ったうえでヤギを開けるという点が確率を変える要因になる。

ケース分けすると分かりやすい。車がAにある場合（1/3）は、司会者がBかCのどちらかを開けても、スイッチすれば必ず負ける。一方、車がBあるいはCにある場合（合わせて2/3）は、最初にAを選んでいるため司会者は残りのヤギのドアを開け、スイッチすれば車が出てくる。要するにスイッチすると2/3の確率で当たるというわけだ。実際に百回くらいでシミュレーションしてみると、感覚的にもそれが確認できる。

この感覚は、策略や情報の有無が結果にどう影響するかを考えるときに役に立つ。ドラマ『ゲーム・オブ・スローンズ』のように、情報を持つ者の一手で展開が変わる場面を思い出すと、腑に落ちやすいかもしれない。結論として、司会者の行動がランダムでない限り、交換する方が期待値は高い。

言葉だけだとやや哲学的に聞こえるが、確率論の基本に立ち返ると実はとてもシンプルだ。私が重視するのは「情報の出し方」だ。最初に扉を一つ選ぶ時点で勝ち目は1/3に固定される。司会者がヤギ扉を開ける行為は、あなたの最初の選択が外れているときに残った一つの扉へ勝利の可能性を集中させる。

条件付き確率という観点から説明すると、最初に選んだ扉に車がない確率は2/3であり、司会者の行動（ヤギ扉を必ず開ける）があるため、その2/3の確率は開けられなかったもう一つの扉に移る。したがって交換すると2/3で当たり、交換しなければ1/3のままだ。理屈は短いが、これを理解しているかいないかで判断が分かれる。

推理小説の技巧を思わせるところがあって、例えば『シャーロック・ホームズ』の事件で決定的な手がかりが出る瞬間のように、司会者という情報源の振る舞いが勝敗を左右する。だから私は、合理的な選択は常にスイッチだと結論づけている。

直観を置き去りにして、具体的な数え上げで考えるとすっきりする。俺は次のように整理してみた。Aを選んだと仮定して、車がどの扉にあるかを三通りに分ける：Aにある、Bにある、Cにある。それぞれの確率は1/3ずつだ。

Aに車がある場合（1/3）は、司会者がヤギのどちらかを開けるので、スイッチすれば負ける。逆にBやCに車がある場合（合計2/3）、最初にAを選んでいるから司会者は明らかにヤギ扉を開け、残った閉じた扉をスイッチすると車を手に入れられる。だからスイッチで当たる確率は2/3になる。数字で示すと理解しやすいが、要点は“司会者は常にヤギの扉を開ける”というルールが確率を偏らせることだ。

頭の中だけで抽象的に考えるのが苦手なら、硬貨や紙で三つの札を作って実験してみるのも手だ。自分で50回くらい繰り返すと、スイッチが圧倒的に勝つのが見える。こういう“行動ルールがある確率問題”は、単なる直感だけではなく事象の条件づけを意識すると納得しやすい。『ハリー・ポッター』で言えば、魔法のルールをちゃんと把握して動くかどうかで結果が大きく変わるのと似ていると思う。