هل وضع فيثاغورس مبرهنة المثلث القائم؟

أعشق أن أغوص في تاريخ الرياضيات لأن في كل دليل قصة عن عقل ووقت؛ بخصوص فيثاغورس، الواقع أن الأدلة المباشرة على أنه هو نفسه قدم برهانًا مكتوبًا عن النظرية ضعيفة جداً. ما لدينا أكثر هو سجلات لمدرسة فيثاغورس وأتباعه الذين عملوا هندسياً على علاقات المثلث القائم. قبل كل شيء هناك بقايا مثل اللوح 'Plimpton 322' التي تُظهر أن البابليين أنتجوا مجموعة من ثلاثيات فيثاغورس قبل الميلاد، ما يعني أنهم عرفوا العلاقة العملية بين الأضلاع على الأقل، لكن هذا ليس برهاناً هندسياً كما في التقليد اليوناني. البرهان الكلاسيكي الذي نتعلمه اليوم يعود إلى 'Elements' لإقليدس: يعتمد على تشابه المثلثات وتقسيم المساحات ليُظهر أن مجموع مساحتي المربعين على القائمين يساوي مساحة مربع الوتر. هذا البرهان تمثيلي للهندسة الإقليدية، ومنه نشأت عائلة من البراهين الهندسية. المدرسة الهندية أيضاً أوردت أشكالاً في 'Baudhayana Sulba Sutra'، والصينيون في 'Zhoubi Suanjing' لديهم استدلالات هندسية تعبر عن نفس الحقيقة. الاختلاف الحديث يكمن في تنوع الأدلة والأساليب: اليوم لدينا براهين جبرية بالمتجهات تُعتمد على حاصل الضرب الداخلي، لبراهين تحويلية وإحصائية، وبراهين ترتيبية بسيطة مثل برهان إعادة الترتيب الذي يُنسب أحياناً إلى 'Bhaskara'، وحتى برهان الرئيس غارفيلد القائم على شبه منحروف. أيضاً اكتشاف أن الجذر التربيعي لـ2 عدد غير نسبي (نسبته لجماعة فيثاغورس) أضاف طبقة تاريخية من الجدل حول معرفتهم وحدود نظمهم، ما يؤكد أن البرهان الذي نُسِبَ لفيثاغورس أصبح عبر القرون أكثر دقة وتنوعاً عما كان يُحكى عنه في أصل الأمر. في النهاية أشعر بأن قصة البرهان نفسها مرآة لتطور المنهج العلمي: من ملاحظة عددية إلى برهان هندسي إلى تعميمات جبرية وعناصر بصرية ساحرة.

أذكر أنني واجهت ذكر فيثاغورس أكثر مما توقعت حين بدأت أقرأ روايات تاريخية وفلسفية تتلاعب بالأساطير والمعرفة القديمة. كثير من الكُتاب لا يقدمونه كشخصية بطولية بقدر ما يستخدمون أفكاره - مثل مفهوم الانسجام العددي أو جماعة البيثاغوريين - كوقود للحبكة، أو كنقطة انطلاق لبحث في الأسرار والرموز. في أعمال مثل 'Foucault's Pendulum' لإمبيرتو إيكو ترى حضورًا لأفكار المدارس القديمة، والبيثاغوريين يظهرون كتيار فكري مؤثر أكثر من كونهم بطلاً سرديًا مستقلاً. أحب كيف يستغل الأدب المعاصر صور فيثاغورس ليحوّل الرياضيات إلى رمز غنائي أو طقسي؛ في بعض الروايات يُقدم كرجل يمتلك مفاتيح للتماثل الكوني، وفي روايات أخرى يُستعرض فقط كاقتطاع تاريخي يُبرر عقدة مؤامرة. هذا النطاق الواسع في التقديم يمنح الكتاب الحرية إما لتجسيده بحميمية أو لمجرد الإشارة إليه كنقطة مرجعية، مما يجعل البحث عن تمثيلاته متعة للباحث عن تقاطعات الفلسفة والأسطورة. بالنسبة لي، كل مرة أجده مذكورًا أشعر بأنني أمام طبقة جديدة من القصة أكثر منها مجرد إسم تاريخي.

حكاية الأضلاع في المثلث القائم تبدو لي وكأنها قصة بسيطة تحمل سرًّا أنيقًا: مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين. أشرحها عادة بأمثلة مرئية لأنني أحب الأشياء التي يمكن رؤيتها أفهَمها؛ تخيّل مثلثًا قائمًا ورسمت مربعات على كل ضلع. مساحة المربع الكبير على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الأصغرَين على الضلعين القائمين. رياضيًا تُكتب هذه الفكرة بصيغة قصيرة وواضحة: a^2 + b^2 = c^2، حيث c هو طول الوتر، وa وb هما طولا الساقين. أحب أيضًا الإشارة إلى طرق الإثبات؛ واحد من أبسطها يعتمد على الترتيب وإعادة التجميع: خذ مربعًا ذي ضلع (a+b) وضع بداخله أربعة مثلثات قائمة متطابقة، ستترك مساحة مربعة صغيرة داخل؛ إذا رتّبتها بطريقة أخرى تحصل على مربعات تُمثّل a^2 وb^2 وc^2 وتبدو المساواة طبيعية بصريًا. هناك برهان آخر يستند إلى تشابه المثلثات الناتج عن إسقاط ارتفاع على الوتر، حيث تنشأ نسب تؤدي إلى نفس المعادلة. هذا النوع من الأدلة يُرضي عقلي لأنني أقدر كيف أن البصيرة الهندسية تُترجم لقواعد جبرية بسيطة. أحيانًا أذكر للناس أن هذه العلاقة ليست مجرد نظرية جامدة: هي أساس قياس المسافات، في البناء، والخرائط، وحتى في برمجيات الرسوم. وكمنتج ثانوي، ولدت معها أفكار جميلة مثل أزواج الأعداد الصحيحة التي تحقق المعادلة — ما نطلق عليه اليوم 'أمثلثات فيثاغورس'، مثل (3,4,5). أتركك مع هذا الانطباع: أنفيثاغورس أعطانا عدسة لرؤية الفضاء المادي بوضوح رقمي وجمالي في آن واحد.

وجدت نفسي منجذبًا إلى فكرة أن الأرقام كانت لدى الفيثاغوريين جوهر الكون، وفكرة كهذه تغيّر طريقة رؤيتي للرياضيات والفلسفة على حد سواء. أذكر كيف أثار فيثاغورس وإتباعه خلطًا بين الاكتشاف العلمي والحياة اليومية: فكرة أن النسبة والانسجام في الموسيقى ترتبط مباشرة بالهندسة أعادت تعريف عمليتَي القياس والتذوّق معًا. ليس فقط نظرية فيثاغورس الشهيرة عن مثلث قائم الزاوية، بل الطريقة التي جعلت إثبات الأفكار الرياضية هدفًا نفسياً وثقافياً؛ جعلوا من البرهان نشاطًا جماعياً، ومن البحث عن النمط نوعًا من العبادة العقلية. هذا الاتفاق بين الجمال والضرورة الرياضية امتد إلى الفلسفة، حيث بدأت فكرة أن الواقع مبني على أعداد تشكّل أساسًا لأفكار مثل الروح والمادة. على الصعيد الاجتماعي، أثّرت الجماعة الفيثاغورية في أُسس التعليم والانضباط الاجتماعي: التعليم المتقاطع بين الموسيقى والرياضيات والأخلاق، والمنهج التجميعي للحياة المشتركة، وغالبًا طقوس السرية كانت سببًا في تحوّل التفكير الرياضي إلى نمط حياة. بالنسبة لي، التأثير الحقيقي لفاثاغورس ليس فقط في الصيغة الرياضية التي نحفظها في المدارس، بل في خلق ثقافةٍ ترى في الرياضيات وسيلة لفهم العالم وتحسينه؛ وهذا ما زال يلهمني كلما قرأت برهانًا مرتبًا أو استمعت إلى لحنٍ مبني على نسب بسيطة.

أحب التفكير في الطريقة التي تربط بها فكرة بسيطة —مربع ومثلث— بين الفن والبناء بطريقة تجعل الزوايا تقف ثابتة والأنماط تبدو معقولة في العين. في السياق التاريخي، الطبّاخون التقليديون والمهندسون والحِرَفْيين استخدموا ما أشبه بنظرية فيثاغورس من دون تعقيد رياضي: الحبل المشدود مع عقد عند أطوال 3 و4 و5 وحدات كان شائعًا لتعيين زاوية قائمة في الأساسات والأسقف. رأيت هذا في صور لمواقع ترميم قديمة، حيث تُثبت الزاوية الصحيحة باستخدام مثلث 3-4-5 قبل أن يبدأوا في وضع الحجارة أو القوالب. أيضاً، علماء اليونان مثل إقليدس صاغوا القواعد ونقلوها عبر كتب مثل 'Elements'، ما سمح لمعارف هندسية أن تتسلل للعمارة النظرية، وتُستَخدم في تصميم أقواس وقواعد أعمدة متوازنة. وبالجانب الجمالي، ترتبط النسب الهندسية بالموسيقى والبناء: علاقة الأضلاع في المثلثات وتناسقها تساعد في تقسيم المساحات بطرق تجعل العين تشعر بالراحة—وهذا ليس مجرد شعور بل حسابات. من المساجد ذات النجوم المتكررة إلى الواجهات الحديثة ذات الزجاج، المثلثات وثباتها يوفران قاعدة للتوازن البصري والهيكلي على حد سواء. أحياناً أشعر بأن كل زاوية صحيحة تمنح المبنى نوعًا من الطمأنينة المنطقية، وهذا ما يجعلني دائماً أبحث عن تلك التركيبات الهندسية البسيطة في أي مكان أزوره.