まず、助動詞の 'would' や 'could' を使うのが基本です。'Can you...?' より 'Could you possibly...?' の方が控えめで丁寧に聞こえます。依頼する時は 'I would appreciate if you could...' という定型表現も便利です。
間接的な言い回しも効果的で、'It might be better to...' や 'I was wondering if...' のような表現は、相手に選択肢を与えつつ提案できます。ビジネス英語では 'Please kindly...' や 'At your earliest convenience' といった慣用句がよく使われます。
英語で『こちらこそ敬語』に相当する表現を考えると、'The honor is mine'が最も近いニュアンスを伝えられるかもしれません。
このフレーズは、相手が敬意を示したことに対して、自分こそが光栄だと返す丁寧な表現です。ビジネスメールやフォーマルな場面でよく使われます。例えば、取引先から『Thank you for your cooperation』と言われた際に『The honor is mine』と返すと、相手へのリスペクトを込めたスマートな返答になります。
ただし、状況によっては『Likewise』や『You too』などのカジュアルな表現も使えますが、敬語のニュアンスを重視するなら『The honor is mine』が無難でしょう。
ビジネスシーンやフォーマルな場面で『すみません』を英語で表現するとき、ニュアンスによって使い分けが必要になってきます。謝罪の気持ちを伝えたいなら『I sincerely apologize for...』が丁寧ですし、ちょっとしたミスに対してなら『My apologies』でも十分伝わります。
感謝の意味を含む場合、『Thank you for your patience』や『I appreciate your understanding』といったフレーズが便利です。特にサービス業などでお客様に待ってもらった時には、謝罪と感謝を同時に表現できるので重宝します。
注意を引きたいときの『Excuse me』は基本中の基本ですが、より丁寧に言うなら『Pardon the interruption』とか『If I may have a moment of your time』といった言い回しもあります。会議中に発言権を得たい時なんかで使えますね。
メールや書面で使うなら『We regret any inconvenience caused』とか『Please accept our deepest apologies』みたいな定型文も覚えておくと便利。状況に応じてこれらのフレーズを使いこなせると、ぐっとプロフェッショナルな印象を与えられます。