「嫌気がさす」という表現を分解すると、『嫌』と『気』と『さす』から成り立っています。『嫌』は文字通り不快感を示し、『気』は気分や精神状態を表します。『さす』は『刺す』と同じで、鋭く突き刺さるような感覚を意味します。つまり、突然強い嫌悪感が心に突き刺さるようなイメージですね。
英語では『be fed up with』や『be sick of』が近い表現です。特に『fed up』は『もう十分食べた』という直訳から、『うんざり』というニュアンスを含みます。『I'm fed up with this job』なんて言い回し、海外ドラマでよく耳にしますよね。
語源を遡ると、中世の文献にも似た表現が見つかりますが、現代のように広く使われるようになったのは江戸時代あたりから。当時の滑稽本にも登場するので、庶民の間で自然に広まった言葉のようです。