英語で「可及的速やかに」を表現する場合、状況によってニュアンスが変わりますね。ビジネスシーンでは『at your earliest convenience』がよく使われますが、これは丁寧さを保ちつつ急ぎを伝える便利な表現です。
緊急性が高い場合は『as soon as possible』(ASAP)が一般的で、特にメールやチャットで頻繁に見かけます。ただし、『urgently』や『without delay』はさらに緊迫感を伝えたい時に使うと効果的です。法律文書では『forthwith』という格式ばった表現も存在しますが、日常会話ではほぼ耳にしません。