「鬱陶しい」のニュアンスを英語で表現するのは意外と難しいですね。日本語の微妙なニュアンスを捉えるには、状況によって使い分ける必要があります。
例えば、誰かがしつこく話しかけてくる場合なら 'annoying' がピッタリです。でも、天気が蒸し暑くて気分が優れない時は 'oppressive' や 'stifling' といった形容詞の方がしっくりきます。
特に面白いのは 'pesky' という表現で、ちょっと軽めの鬱陶しさを表す時に使えます。子どもの頃、妹がいつも私のおもちゃをいじって鬱陶しかったな、と思い出しました。そんな時は 'My little sister was being so pesky!' って言うのが自然です。