回転体の体積を積分で解く具体的な例題を知りたい

2026-01-17 19:12:00 264

5 Answers

Phoebe
Phoebe
2026-01-18 00:13:25
回転体の体積計算で面白い例といえば、y = sinxを0からπまでx軸周りに回転させるケースがあります。この場合、断面積はπ(sinx)^2で、積分計算には半角公式が役立ちます。

π∫(0→π)(1-cos2x)/2 dxと変形できるので、最終的にπ^2/2というすっきりした答えになります。三角関数の性質をうまく利用したこの解法は、積分テクニックの良い練習になります。
Lila
Lila
2026-01-19 06:03:46
回転体の体積を考えるとき、直線y=xを0から1までy軸周りに回転させる例が教育的です。この場合、xをyで表すとx=yなので、断面積はπy^2となります。

積分するとπ∫(0→1)y^2 dy = π/3です。単純な例ですが、回転軸を変えるとどうなるかを理解するのに最適です。
Jack
Jack
2026-01-21 01:10:36
数学の授業で回転体の体積問題に初めて出会ったとき、その美しさに感動したのを覚えています。

例えば、y = x^2 をx軸周りに回転させたときの体積を求める場合、まず0から1までの区間で積分します。断面積はπy^2、つまりπx^4となりますね。これを0から1まで積分するとπ/5という結果が得られます。

具体的な数字が出ると、抽象的な公式が突然現実のものとして感じられます。グラフを描いて想像すると、二次曲線が回転してできる立体の形が頭に浮かび、数学が単なる記号ではなくなる瞬間です。
Lillian
Lillian
2026-01-21 21:00:05
回転体の体積問題で印象深いのは双曲線y=1/xのケースです。1から2までの区間でx軸周りに回転させると、断面積はπ/x^2になります。

これを積分するとπ[-1/x]を1から2まで計算することになり、結果はπ/2となります。興味深いのは、この立体が無限に伸びているように見えるのに、有限の体積を持つことです。こうした逆説的な結果が、数学の奥深さを感じさせます。
Willa
Willa
2026-01-23 23:04:55
円柱から円錐をくりぬいたような立体の体積を求める問題があります。例えば、y=2とy=xで囲まれた領域をy軸周りに回転させます。

この場合、外側の半径は常に2で、内側の半径はx=yです。断面積はπ(2^2 - y^2)となり、0から2まで積分すると16π/3が得られます。複雑な形状でも積分で解けるのが面白いですね。
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