英語で「手を出す」を表現する際、状況によって様々な言い回しが使えますね。物理的な接触を指すなら 'lay a hand on' が適切でしょう。例えば暴力を振るうような場面で 'He didn't lay a hand on her' と言えば「彼は彼女に手を出さなかった」という意味になります。
一方、何かに介入したり関与したりするニュアンスなら 'get involved in' や 'meddle in' がぴったり。'I don't want to get involved in their quarrel' は「彼らの争いに手を出したくない」と訳せます。特に 'meddle' には余計な干渉という否定的な含みがあるので、使い分けが重要です。興味深いのは、日本語と同じように英語でも「手」を使った表現が多い点で、言語間の共通点を感じさせます。