「責務を全うする」という日本語のニュアンスを英語で表現するなら、'fulfill one's duty'が一番しっくりくるかな。特にフォーマルな場面や堅い表現が必要な時にはこれが使える。でも日常会話なら 'do one's part' とか 'step up to the plate' なんかもよく聞く表現だね。
海外ドラマでよく耳にするのは 'hold up one's end of the bargain' っていう言い回し。『スーツ』なんかではビジネス契約の場面で、『ゲーム・オブ・スローンズ』だと騎士道精神に関するシーンでこんな表現が使われていた気がする。軍隊ものの『バンド・オブ・ブラザーズ』では 'execute one's mission' なんて軍事色の強い言い方も出てくる。
面白いのは『ブレイキング・バッド』みたいなドラマだと、犯罪組織のメンバーが 'deliver the goods' なんてスラングっぽく言ったりする場面も。シチュエーションによってこんなに表現が変わるんだから、英語って本当に奥が深いよね。