英語には『矢継ぎ早に』に相当する表現がいくつかありますね。
『In rapid succession』は、物事が次々と途切れなく起こる様子を表すのにぴったりです。例えば、『The questions came in rapid succession』と言えば、質問が立て続けに投げかけられた状況が伝わります。
もう少しカジュアルな表現なら『One after another』も使えます。こちらは日常会話でよく耳にします。『The problems occurred one after another』といった具合に、連鎖的な出来事を描写するのに適しています。
『Back-to-back』も便利な表現で、特にイベントや出来事が間を置かずに続く場合に使われます。スポーツ中継で『back-to-back games』と言えば、連戦を指すことが多いです。