「自分で自分の世話をする」という概念を英語で表現するなら、'take care of oneself'が最もストレートな言い方ですね。
自立というテーマで考えた時、'self-sufficient'という形容詞もよく使われます。例えば『ハウルの動く城』のソフィーが魔法の力に頼らず自分で道を切り開いていく姿は、まさにこの言葉がぴったり。
面白いのは、'stand on one's own two feet'という慣用句。文字通り「自分の両足で立つ」という意味で、経済的にも精神的にも自立した状態を表します。成長物語の主人公が最終的に到達する境地を表現する時に使いたくなるフレーズです。