英語で「驕るな」に近い表現はいくつかありますが、文脈によって使い分ける必要があります。
最も直接的なのは "Don't be arrogant" でしょう。これは相手の態度を諌める際に使えます。ただし、少し強い表現なので、友人同士なら "Don't get cocky" の方が自然です。スポーツ映画『ロッキー』でトレーナーが選手に言いそうなセリフですね。
もっと軽いニュアンスなら "Don't let it go to your head" という表現も。成功した人に「調子に乗るなよ」と声をかける時にぴったりです。