日本語で『謳歌する』に近い表現を考えると、『満喫する』が真っ先に浮かびます。例えば、休暇を思い切り楽しむ様子を『夏の休暇を満喫する』と表すことができますね。
英語では『revel in』がしっくりくる表現です。『She revels in her success』(彼女は成功を謳歌している)のように使います。他にも『savor』という動詞も、味わいながら楽しむニュアンスで使えます。『savor the moment』(その瞬間を謳歌する)というフレーズは、SNSのキャプションなどでもよく見かけます。
若者言葉で言えば『エンジョイ』も近いですが、『謳歌する』の方がどこか格調高い響きがありますよね。時代劇を見ていると『歓楽に耽る』といった表現も出てきますが、これはやや耽美的な印象を受けます。