ما البراهين التي قدمها فيثاغورس وكيف اختلفت حديثًا؟

أحب البراهين البصرية لأنّها تشعرني وكأنّني أحل لغزاً بصرياً؛ هناك برهان بسيط يمكنك عرضه بقطع شفافة: مربعان على القائمين ينسحبان ليكوّنا مربعاً على الوتر، وفي لحظة تتبدد أي شك بصرياً. تاريخيا، الأدلة المبكرة مثل لوح 'Plimpton 322' تُظهر أنّ القيم العددية الثلاثية كانت معروفة قبل العصور اليونانية، لكن إثبات العلاقة هندسياً كما عند اليونان جاء لاحقاً.

في العصر الحديث، نرى نفس الحقيقة مُثبتة بجبر المتجهات أو عبر الضرب الداخلي: القانون نفسه يتحوّل إلى حقيقة عن متجهين متعامدين في فضاء أيّ متجهات. هذا التوسع يعجبني لأنّه يُظهر كيف أن مبدأ قديم يندمج مع أدوات حديثة للرياضيات؛ كأن ذات اللغز تُحل بأدوات مختلفة عبر الأزمنة. بالنسبة لي، التنوع في البراهين يجعل النظرية أكثر حيوية ويعطي شعوراً بأن الرياضيات حقل حي يتحدث بلغات متعددة.

أعشق أن أغوص في تاريخ الرياضيات لأن في كل دليل قصة عن عقل ووقت؛ بخصوص فيثاغورس، الواقع أن الأدلة المباشرة على أنه هو نفسه قدم برهانًا مكتوبًا عن النظرية ضعيفة جداً. ما لدينا أكثر هو سجلات لمدرسة فيثاغورس وأتباعه الذين عملوا هندسياً على علاقات المثلث القائم. قبل كل شيء هناك بقايا مثل اللوح 'Plimpton 322' التي تُظهر أن البابليين أنتجوا مجموعة من ثلاثيات فيثاغورس قبل الميلاد، ما يعني أنهم عرفوا العلاقة العملية بين الأضلاع على الأقل، لكن هذا ليس برهاناً هندسياً كما في التقليد اليوناني.

البرهان الكلاسيكي الذي نتعلمه اليوم يعود إلى 'Elements' لإقليدس: يعتمد على تشابه المثلثات وتقسيم المساحات ليُظهر أن مجموع مساحتي المربعين على القائمين يساوي مساحة مربع الوتر. هذا البرهان تمثيلي للهندسة الإقليدية، ومنه نشأت عائلة من البراهين الهندسية. المدرسة الهندية أيضاً أوردت أشكالاً في 'Baudhayana Sulba Sutra'، والصينيون في 'Zhoubi Suanjing' لديهم استدلالات هندسية تعبر عن نفس الحقيقة.

الاختلاف الحديث يكمن في تنوع الأدلة والأساليب: اليوم لدينا براهين جبرية بالمتجهات تُعتمد على حاصل الضرب الداخلي، لبراهين تحويلية وإحصائية، وبراهين ترتيبية بسيطة مثل برهان إعادة الترتيب الذي يُنسب أحياناً إلى 'Bhaskara'، وحتى برهان الرئيس غارفيلد القائم على شبه منحروف. أيضاً اكتشاف أن الجذر التربيعي لـ2 عدد غير نسبي (نسبته لجماعة فيثاغورس) أضاف طبقة تاريخية من الجدل حول معرفتهم وحدود نظمهم، ما يؤكد أن البرهان الذي نُسِبَ لفيثاغورس أصبح عبر القرون أكثر دقة وتنوعاً عما كان يُحكى عنه في أصل الأمر. في النهاية أشعر بأن قصة البرهان نفسها مرآة لتطور المنهج العلمي: من ملاحظة عددية إلى برهان هندسي إلى تعميمات جبرية وعناصر بصرية ساحرة.

أستمتع بتفكيك البراهين لأن كل طريقة تُظهر وجه مختلف للحقيقة. على مستوى بسيط ومباشر، هناك برهان يعتمد على تشابه المثلثات: تقسم المربعات وترتب المثلثات لتُبيّن أن مساحتي القائمين تساوي مربع الوتر — هذا هو جوهر برهان إقليدس في 'Elements'، وهو أنيق لأنّه يخاطب الحدس البصري.

في المقابل هناك برهان إعادة الترتيب الشهير، حيث تأخذ مربعين على القائمين وتقطعهما لتكوّنان مربعاً على الوتر. هذه الحيلة البصرية سهلة العرض في الصف وتجعل الطلاب يصرخون من الإعجاب؛ أحياناً أريها كقطع متحركة أو لعبة تركيب، وتعمل بشكل رائع. تاريخياً، قبل أن نُدَوّن البرهان الإقليدي، كان البابليون والهنود يملكون معرفة عملية بثلاثيات فيثاغورس ووجدوا طرقاً عددية مختلفة للتعامل مع أطوال الأضلاع، لكنهم لم يضعوا نفس مستوى البرهان الهندسي الصريح.

التطور الحديث أضاف ما يُشبه الجبر والمتجهات: إثباتات بالمتجهات أو باستخدام المسافات في فضاءات داخلية تُعمّم المبدأ وتربطه بنظرية الزوايا والضرب الداخلي. كما أن الأدلة أصبح بإمكانها أن تُبرهَن آلياً بالحواسب، ومهما كان الطريق المفضل لدي، فإن شدة الاختلاف بين القديم والحديث تكمن في الصياغة والدقة والقدرة على التعميم، وليس في الحقيقة نفسها.