翻訳サイトで調べると『自惚れる』は『self-conceited』や『vain』と出てきますが、実際の会話ではもっとニュアンス豊かな表現が使われますね。ネイティブがよく使うのは『full of oneself』——例えば『He's so full of himself after getting promoted』(昇進してから調子に乗ってる)みたいに、嫌味っぽさも含めて使えます。
『Narcissistic』も最近は流行語で、SNSで自撮りばかり投稿する人を『She's being narcissistic』なんて言ったり。ギリシャ神話のナルキッソス由来の単語で、臨床心理学用語から日常会話に広がった面白い例です。『Tokyo Ghoul』の壁井ユクが『自己愛の塊』と評される時、英語圏のファンは『walking narcissism』なんて表現してましたね。