英語で先生に手紙を書くとき、フォーマルさと温かみのバランスが大切ですね。
最初の挨拶には『Dear Mr./Ms. [Last Name]』が基本ですが、親しみを込めたい場合は『Dear [First Name]』も使えます。感謝の気持ちを伝えるなら『Thank you for your guidance and support』や『I truly appreciate your patience and encouragement』が自然です。質問や相談がある場合、『I would be grateful if you could advise me on...』と丁寧に切り出せば、先生も快く対応してくれるでしょう。
締めくくりは『Sincerely』や『Best regards』が無難ですが、特別な感謝を伝えたい時は『With deepest gratitude』も素敵です。手書きのサインを添えるとさらに心が伝わりますよ。