日本の名前を英語で表現するのは意外と難しい作業ですね。芽吹という名前のニュアンスを考えると、'Sprout'や'Bud'が近いかもしれません。
自然の生命力を連想させるこの名前は、春の訪れを感じさせます。英語圏の人に説明するなら、'Like a new bud in spring'と補足すると伝わりやすいでしょう。植物の成長過程を表す単語の中では'Sprout'が最も詩的で、名前としての響きも悪くない気がします。
ただ、名前の音そのままを優先するなら'Mebuki'とローマ字表記するのも一つの方法。最近は日本文化に興味を持つ海外の人も増えているので、そのまま使っても理解される場面が多くなっています。