「食い下がる」という日本語のニュアンスを英語で表現するなら、'persist'が一番近い気がする。例えば、野球の試合で点差が開いても諦めずに反撃を続けるチームを描写する時、'The team persisted in their comeback attempt'と言えば、粘り強く食い下がるイメージが伝わる。
'Clinch'も使えるけど、これはどちらかというと最後の決定的な行動に焦点がある。'Tenaciously hang on'とも言えるが、少々堅苦しい印象になる。日常会話では'keep pushing'や'never give up'の方が自然かも。スポーツ中継やビジネスシーンで使われる'fight tooth and nail'も激しく食い下がる様子を表す面白い表現だ。