英語で「世話をする」と言いたいとき、状況によって様々な表現を使い分けられますね。'Take care of'が最も汎用的で、例えば子供の面倒を見るときは'I take care of my kids after school'と言えます。
もう少し責任感を含むニュアンスなら'Look after'がしっくりきます。ペットの世話をするなら'I look after my neighbor's dog when they're away'という感じ。医療や介護の場面では'Care for'がよく使われ、'She cares for elderly patients'のように職業的なケアを表現できます。
あのシーンでキャラクターが優しく世話をする場面、心温まりますよね。英語だと『take care of』が最も自然な表現です。『I'll take care of you』と言えば「私があなたの面倒を見る」というニュアンスになります。
『Nurse back to health』も回復を前提としたケアを指す際に使われます。『Fate/stay night』でセイバーが士郎を看病するようなシーンを思い浮かべるとイメージしやすいかもしれません。医療ケアより精神的なサポートを強調するなら『look after』がしっくり来ることも。作品の雰囲気によって使い分けるのがポイントです。