英語で「手いっぱい」を表現するなら、'I have my hands full'が最も自然な言い方です。
ネイティブは仕事や育児で忙しい時によく使います。例えば、友達から飲みに誘われた時に『Sorry, I've got my hands full with the kids this weekend』なんて返す感じ。
面白いことに、この表現は文字通り手が塞がっている状況にも使えます。スーパーで大量の荷物を持ちながら電話に出た時、『Can I call you back? My hands are full right now』と言えば、状況が伝わります。
忙しさのニュアンスを強めたい時は 'completely'や 'really'を加えると効果的です。