英語で'身に余る'を表現する場合、状況に応じて複数のニュアンスを使い分ける必要がありますね。
'Beyond my capacity'は文字通り「私の能力を超えている」という意味で、仕事や課題が自分のスキルを上回っている時にピッタリです。例えば、突然プロジェクトリーダーを任された新人が「This responsibility is beyond my capacity」と言えば、重圧を感じつつも謙虚な印象を与えます。
面白いことに、'out of my league'というスラングも使えますが、これはどちらかと言えば恋愛や社交シーンで「釣り合わない」という意味に近い。翻訳って単語の置き換えじゃなく、文脈をどれだけ汲み取れるかが鍵なんですよね。
英語で『肩の荷を下ろす』を表現するなら、'take a load off one's shoulders'がピッタリだと思う。この表現は文字通り重荷を降ろすイメージで、心理的な解放感まで伝わる。
例えば、長年抱えていたプロジェクトが無事終わった時なんかは、まさにこのフレーズが似合う。'Finally, I could take that huge load off my shoulders'って言うと、達成感と安堵が同時に表現できる。
個人的には、この表現のいいところは身体的な重さと精神的な負担をうまく結びつけてるところ。日本語のニュアンスをかなり忠実に再現してる気がする。