日本語の『懐く』という言葉には、動物や人が時間をかけて信頼関係を築いていくニュアンスが含まれていますね。英語でこれに近い表現を探すと、'warm up to'がぴったりくる気がします。例えば、『The stray cat gradually warmed up to me』と言えば、野良猫が少しずつ心を開いてくれた様子が伝わります。
一方で、より強い信頼関係を示すなら'grow attached to'も使えます。特にペットと飼い主の関係を描写する際に『She grew deeply attached to her rescue dog』といった表現が可能です。このフレーズには時間の経過と共に深まる愛情が感じられます。
状況によっては'become familiar with'を使うこともありますが、これはどちらかと言えば単なる慣れを表す場合が多いので、感情的な結びつきを表現するなら先の二つが適切でしょう。