كيف أثّر فيثاغورس على الفلسفة والمجتمعات الرياضية؟

أعشق أن أغوص في تاريخ الرياضيات لأن في كل دليل قصة عن عقل ووقت؛ بخصوص فيثاغورس، الواقع أن الأدلة المباشرة على أنه هو نفسه قدم برهانًا مكتوبًا عن النظرية ضعيفة جداً. ما لدينا أكثر هو سجلات لمدرسة فيثاغورس وأتباعه الذين عملوا هندسياً على علاقات المثلث القائم. قبل كل شيء هناك بقايا مثل اللوح 'Plimpton 322' التي تُظهر أن البابليين أنتجوا مجموعة من ثلاثيات فيثاغورس قبل الميلاد، ما يعني أنهم عرفوا العلاقة العملية بين الأضلاع على الأقل، لكن هذا ليس برهاناً هندسياً كما في التقليد اليوناني. البرهان الكلاسيكي الذي نتعلمه اليوم يعود إلى 'Elements' لإقليدس: يعتمد على تشابه المثلثات وتقسيم المساحات ليُظهر أن مجموع مساحتي المربعين على القائمين يساوي مساحة مربع الوتر. هذا البرهان تمثيلي للهندسة الإقليدية، ومنه نشأت عائلة من البراهين الهندسية. المدرسة الهندية أيضاً أوردت أشكالاً في 'Baudhayana Sulba Sutra'، والصينيون في 'Zhoubi Suanjing' لديهم استدلالات هندسية تعبر عن نفس الحقيقة. الاختلاف الحديث يكمن في تنوع الأدلة والأساليب: اليوم لدينا براهين جبرية بالمتجهات تُعتمد على حاصل الضرب الداخلي، لبراهين تحويلية وإحصائية، وبراهين ترتيبية بسيطة مثل برهان إعادة الترتيب الذي يُنسب أحياناً إلى 'Bhaskara'، وحتى برهان الرئيس غارفيلد القائم على شبه منحروف. أيضاً اكتشاف أن الجذر التربيعي لـ2 عدد غير نسبي (نسبته لجماعة فيثاغورس) أضاف طبقة تاريخية من الجدل حول معرفتهم وحدود نظمهم، ما يؤكد أن البرهان الذي نُسِبَ لفيثاغورس أصبح عبر القرون أكثر دقة وتنوعاً عما كان يُحكى عنه في أصل الأمر. في النهاية أشعر بأن قصة البرهان نفسها مرآة لتطور المنهج العلمي: من ملاحظة عددية إلى برهان هندسي إلى تعميمات جبرية وعناصر بصرية ساحرة.

أذكر أنني واجهت ذكر فيثاغورس أكثر مما توقعت حين بدأت أقرأ روايات تاريخية وفلسفية تتلاعب بالأساطير والمعرفة القديمة. كثير من الكُتاب لا يقدمونه كشخصية بطولية بقدر ما يستخدمون أفكاره - مثل مفهوم الانسجام العددي أو جماعة البيثاغوريين - كوقود للحبكة، أو كنقطة انطلاق لبحث في الأسرار والرموز. في أعمال مثل 'Foucault's Pendulum' لإمبيرتو إيكو ترى حضورًا لأفكار المدارس القديمة، والبيثاغوريين يظهرون كتيار فكري مؤثر أكثر من كونهم بطلاً سرديًا مستقلاً. أحب كيف يستغل الأدب المعاصر صور فيثاغورس ليحوّل الرياضيات إلى رمز غنائي أو طقسي؛ في بعض الروايات يُقدم كرجل يمتلك مفاتيح للتماثل الكوني، وفي روايات أخرى يُستعرض فقط كاقتطاع تاريخي يُبرر عقدة مؤامرة. هذا النطاق الواسع في التقديم يمنح الكتاب الحرية إما لتجسيده بحميمية أو لمجرد الإشارة إليه كنقطة مرجعية، مما يجعل البحث عن تمثيلاته متعة للباحث عن تقاطعات الفلسفة والأسطورة. بالنسبة لي، كل مرة أجده مذكورًا أشعر بأنني أمام طبقة جديدة من القصة أكثر منها مجرد إسم تاريخي.

القصّة أكبر من مجرد اسم واحد. كنت أسمع دائماً أن مبرهنة فيثاغورس تعود إليه شخصياً، لكن حين بدأت أقرّب العدسة على التاريخ لفت انتباهي كم أن الأمر أنيق ومعقّد في آن معاً. الأدلة التاريخية تُظهر أن علاقات قياسات أطوال الأضلاع في المثلث القائم كانت معروفة لمجموعات قديمة مثل البابليين والهنود قبل عصر فيثاغورس، وهناك أمثلة عملية في لوحات ومعادلات تعود لآلاف السنين. ومع ذلك، ما يميّز فيثاغورس أو مدرسته ليس بالضرورة الاكتشاف الأول بل الصياغة والنظام والمنهج الفكري الذي ربط هذه الحقيقة بمبانٍ رياضية أعمق. أعتقد أن ما فعله فيثاغورس أو أتباعه كان تحويل حقيقة رقمية أو ملاحظة قياس إلى مبرهنة منظّمة ومثبتة بطريقةٍ ملفتة، وربما وضعوا برهاناً هندسياً واضحاً—ولو أن إثباتات مكتوبة وصلتنا لاحقاً عبر أعمال إقليدس الذي قدّم برهاناً مشهداً في 'عناصره'. الأسطورة المحيطة باسم فيثاغورس والنميمة عن ذبح المئات من الثيران بعد اكتشافه للمبرهنة تُظهر أيضاً كيف يتم تبجيل الأسماء التاريخية حتى لو لم تكن هي المؤلف الحصري للفكرة. في النهاية، أرى أن الإجابة المختصرة المقربة مني: لا، من غير المرجّح أن فيثاغورس وحده هو منشئ الفكرة من العدم، لكنه بالتأكيد لعب دوراً مركزياً في صقلها وإضفاء طابع برهاني عليها عبر تقاليد مدرسته. هذا يجعل اسمَه مرتبطاً بالمبرهنة رغم أن جذورها أقدم، وهو أمر أجد فيه جمال التاريخ العلمي وتداخل الشعوب والمعرفة.

حكاية الأضلاع في المثلث القائم تبدو لي وكأنها قصة بسيطة تحمل سرًّا أنيقًا: مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين. أشرحها عادة بأمثلة مرئية لأنني أحب الأشياء التي يمكن رؤيتها أفهَمها؛ تخيّل مثلثًا قائمًا ورسمت مربعات على كل ضلع. مساحة المربع الكبير على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الأصغرَين على الضلعين القائمين. رياضيًا تُكتب هذه الفكرة بصيغة قصيرة وواضحة: a^2 + b^2 = c^2، حيث c هو طول الوتر، وa وb هما طولا الساقين. أحب أيضًا الإشارة إلى طرق الإثبات؛ واحد من أبسطها يعتمد على الترتيب وإعادة التجميع: خذ مربعًا ذي ضلع (a+b) وضع بداخله أربعة مثلثات قائمة متطابقة، ستترك مساحة مربعة صغيرة داخل؛ إذا رتّبتها بطريقة أخرى تحصل على مربعات تُمثّل a^2 وb^2 وc^2 وتبدو المساواة طبيعية بصريًا. هناك برهان آخر يستند إلى تشابه المثلثات الناتج عن إسقاط ارتفاع على الوتر، حيث تنشأ نسب تؤدي إلى نفس المعادلة. هذا النوع من الأدلة يُرضي عقلي لأنني أقدر كيف أن البصيرة الهندسية تُترجم لقواعد جبرية بسيطة. أحيانًا أذكر للناس أن هذه العلاقة ليست مجرد نظرية جامدة: هي أساس قياس المسافات، في البناء، والخرائط، وحتى في برمجيات الرسوم. وكمنتج ثانوي، ولدت معها أفكار جميلة مثل أزواج الأعداد الصحيحة التي تحقق المعادلة — ما نطلق عليه اليوم 'أمثلثات فيثاغورس'، مثل (3,4,5). أتركك مع هذا الانطباع: أنفيثاغورس أعطانا عدسة لرؤية الفضاء المادي بوضوح رقمي وجمالي في آن واحد.

أحب التفكير في الطريقة التي تربط بها فكرة بسيطة —مربع ومثلث— بين الفن والبناء بطريقة تجعل الزوايا تقف ثابتة والأنماط تبدو معقولة في العين. في السياق التاريخي، الطبّاخون التقليديون والمهندسون والحِرَفْيين استخدموا ما أشبه بنظرية فيثاغورس من دون تعقيد رياضي: الحبل المشدود مع عقد عند أطوال 3 و4 و5 وحدات كان شائعًا لتعيين زاوية قائمة في الأساسات والأسقف. رأيت هذا في صور لمواقع ترميم قديمة، حيث تُثبت الزاوية الصحيحة باستخدام مثلث 3-4-5 قبل أن يبدأوا في وضع الحجارة أو القوالب. أيضاً، علماء اليونان مثل إقليدس صاغوا القواعد ونقلوها عبر كتب مثل 'Elements'، ما سمح لمعارف هندسية أن تتسلل للعمارة النظرية، وتُستَخدم في تصميم أقواس وقواعد أعمدة متوازنة. وبالجانب الجمالي، ترتبط النسب الهندسية بالموسيقى والبناء: علاقة الأضلاع في المثلثات وتناسقها تساعد في تقسيم المساحات بطرق تجعل العين تشعر بالراحة—وهذا ليس مجرد شعور بل حسابات. من المساجد ذات النجوم المتكررة إلى الواجهات الحديثة ذات الزجاج، المثلثات وثباتها يوفران قاعدة للتوازن البصري والهيكلي على حد سواء. أحياناً أشعر بأن كل زاوية صحيحة تمنح المبنى نوعًا من الطمأنينة المنطقية، وهذا ما يجعلني دائماً أبحث عن تلك التركيبات الهندسية البسيطة في أي مكان أزوره.