كيف يشرح المعلم مفهوم ضرب المصفوفات بصور واضحة؟

أحب الأمثلة الصغيرة لأنها تكشف البنية العامة بسرعة. أبدأ بمصفوفة 2×2 وأرسم محورين واثنين من متجهات الوحدة؛ بعد ذلك أطبق المصفوفة وأبيّن أين انتقلت تلك المتجهات. بهذه الطريقة أشرح أن ضرب المصفوفة في متجه يساوي مجموع أعمدة المصفوفة مضروبة في مكونات ذلك المتجه — أي أن الناتج هو تركيب خطي للأعمدة.

أستخدم أيضاً نموذج المساحة: أضع مستطيلاً على الشبكة وأريهم كيف يتغير مساحته وشكله بعد تطبيق المصفوفة، ما يساعد في فهم أثر القيم على التشوه والانعكاس. وفي حالات أخرى أشرح بطريقة الصف مقابل العمود خطوة بخطوة مع مثال رقمي واضح، ثم أحول الشرح إلى رسم متحرك بسيط يعرض التحركات تدريجياً.

أحب أن أختم بملاحظة عملية: إذا استطاع الطالب أن يتخيل كيف تغير المصفوفة متجهات الوحدة، فقد فهم أساس ضرب المصفوفات، ويمكنه بعد ذلك البناء على هذه الصورة ليفهم خواصًا أخرى مثل التراكيب ومصفوفة الوحدة والمقلوب.

صورة واحدة تغير كل شيء. أبدأ دائمًا برسم شبكة من النقاط وأطلب من الطلاب تخيل أن كل نقطة هي موقع لصندوق صغير؛ عند ضرب المصفوفة أُريهم كيف تتحرك هذه الصناديق. أرتب التمثيل بحيث تكون كل عمود من المصفوفة صورةٍ عن متجه جديد بلون مختلف، ثم أحرك هذه الأعمدة على الشبكة لأوضح أن ضرب المصفوفة في متجه ما يُعيد توزيع النقاط.

ثم أنتقل إلى شرح عملي مبسط: أُقطع بطاقات صغيرة عليها الأعداد وأطلب من المجموعة بناء المصفوفة صفًا بعد صف؛ بعدها أُعلّق صفوف بطاقات من الأعلى وأعمود بطاقات من الجانب، وأشد بطاقات متقاطعة لأبيّن قاعدة 'الصف في ضرب المصفوفة مع العمود'؛ هذه الخدعة الحسية تحوّل قاعدة جافة إلى فعل ملموس. مع ذلك لا أترك التمثيل الواقعي وحده، فأشرح أن نفس الحركة تمثل تحويلات هندسية — شدّ، دوران، انزياح — وأعرض صورًا متتابعة لصورة بسيطة تُطبّق عليها مصفوفات مختلفة.

ختمت الدرس دومًا بتوضيح بسيط: المصفوفة يمكن رؤيتها كدالة تتعامل مع المتجهات، وكل عمود يُظهر انطباع المصفوفة على متجه الوحدة. ثم أعطي تمرينات منسقة في جدول إلكتروني يجعل كل طالب يرى الأرقام تتغير مباشرة عند تعديل القيم، وبذلك يمزج الشرح بين الحسي، البصري والرمزي».

أحب تحويل المفاهيم المجردة إلى قصص قصيرة، فهنا أخلق قصة حول شخصيات متجهية. أول مشهد أرسمه هو متجهان يمثلان طفلين واقفين على شبكة؛ عندما أُدخل مصفوفة، أخبرهم أنهم يحصلون على دروس تدريبية تغير اتجاههم وطولهم. بهذه الصورة البسيطة أُدرّج مفهوم الضرب كتحويل للنواقل، ويستطيع الطلاب الضحك ثم الربط عمليًا.

بعد ذلك أستخدم طريقة العمود والصف لكن من منظور آخر: أُعلّم الطلاب أن ناتج ضرب المصفوفة في متجه يخرج كمجموع أعداد مضروبة بمعاملات العمود. أظهر هذا عبر تلوين الأعمدة والأوزان، ثم أجعلهم يبنون الناتج كنقطة تتكوّن من مزيج ألوان. إضافةً إلى ذلك، أُعرض أمثلة رسومية أكثر جدية مثل دوران مستوى بسيط أو تكبير صورة صغيرة برموز بيانية، حتى يشعروا أن المصفوفة ليست مجرد جدول أرقام بل أداة لتحويل الأشياء في الفضاء.

أختم بتحدٍ قصير: أعطيهم مصفوفة 2×2 وأسأل كيف ستبدو شبكة مربعات بعد تطبيقها، أتركهم يتخيلون ويختبرون في الحاسوب. الفرح عندما يرى أحدهم الشبكة تُستدار أو تُشدّ يعني أن الشرح وصل».