獅子搏兎という言葉のニュアンスを英語で表現するなら、'Give your all even to small tasks'が近いかもしれません。ビジネスシーンでは、'Even a minor project deserves full commitment'という表現が使えます。
この考え方は、シリコンバレーの起業家たちがよく口にする『スケールしない仕事も大切にしろ』という哲学と通じるものがあります。Googleの初期メンバーがオフィスの電球交換にまで気を配っていたエピソードは有名です。些細なことこそ本気で取り組む姿勢が、結果的に大きな信頼を生むのです。
プレゼンの場面なら、'We're approaching this pitch with lion-like focus, whether it's for a Fortune 500 client or a local business'と言えば、相手に好印象を与えられるでしょう。
「負け犬の遠吠え」のような表現は、弱い立場の者が虚勢を張る様子を表すものですね。日本語では「弱い犬ほどよく吠える」という言い回しもあります。これは実際に小動物が恐怖から威嚇する行動を観察したことから生まれた表現で、特に社会的弱者が権威に反抗するときの心理をよく捉えています。
英語圏では 'empty vessels make the most sound'(空の容器ほど大きな音を立てる)という諺があり、中身のない人間ほど騒がしいという意味で使われます。これはシェイクスピアの『ヘンリー五世』にも引用される古い表現で、現代でも政治家や有名人の空虚な発言を批判するときに用いられることがあります。
中国の『史記』に出てくる「窮鼠猫を噛む」という故事も関連性がありますね。追い詰められた弱者が逆襲する様子を描いたもので、現代では企業の下請けが親会社に反抗する場合などに比喩的に使われます。どれも立場の弱い者が必死に抵抗する姿を描いた表現と言えるでしょう。