「浮き名を流す」という日本語のニュアンスを英語で表現するなら、'to have one's name associated with scandal' や 'to gain a reputation (for something)' が近いでしょう。特に恋愛スキャンダルの文脈では 'to be romantically linked with someone' という表現がよく使われます。
海外のことわざで似た概念を探すと、イタリア語の『Chi trova un amico trova un tesoro』(友人を見つけることは宝を見つけること)とは対照的に、フランスには『Les absents ont toujours tort』(いない者は常に悪者になる)という諺があります。これは人の噂が独り歩きする様子を表していて、日本語の「浮き名」と通じる部分がありますね。英語圏では『Give a dog a bad name and hang him』(犬に悪い名前を付けて吊るせ)という表現も、一度付いた評判が取り返しのつかないことを示しています。