「偉い」という日本語のニュアンスを英語で表現するのは結構難しいよね。上司や先生のように社会的地位が高い人を指すなら『respectable』や『distinguished』が使える。『He's a respectable professor』なんて言い方、よく聞くよね。
でも子供がお手伝いをした時とか、日常的な場面で使う「偉い」は『good job』や『well done』がしっくりくる。『You cleaned your room? Good job!』みたいな感じ。シチュエーションによって使い分けるのがポイントだと思う。英語って単語の選択一つで印象がガラッと変わるから、文脈をしっかり考えないとね。
日本語で'achievement'を表現する場合、文脈によってかなりニュアンスが変わりますね。達成感を強調したい時は『達成』がピッタリですが、もっと感情的なニュアンスを込めると『成し遂げたこと』という言い回しがしっくりきます。
特にスポーツやプロジェクト完遂のような具体的な成果を指す時は『実績』というビジネスライクな表現も使えます。一方で、個人の成長や内面的な進歩を語るなら『成長の証』のような詩的な表現も素敵です。'The Achievement of Sasaki and Miyano'という作品の日本語タイトルが『ササキ様とミヤノくんの成り行き』と訳されている例を見ると、必ずしも直訳ではない柔軟な表現が可能だと気付かされます。
状況に応じて『功績』『偉業』『快挙』といった強い称賛を含む言葉も選択肢に入りますが、使いすぎると大げさに聞こえるので要注意です。