英語で丁寧に『善処します』を伝えたいなら、『I'll handle it appropriately』がしっくりくる気がする。この表現には『適切に対処します』というニュアンスが含まれていて、責任感を感じさせる。
特にクライアントからのリクエストに対して使うと、『きちんと対応しますよ』という安心感を与えられる。『I'll take care of it』もシンプルでいいけど、少しカジュアルすぎる場合があるから、フォーマルな場面では前者の方が無難だと思う。最近は『I'll address the matter』という言い回しもよく耳にするね。