こういう訳し方を選んでみたよ。
僕は歌の短いフレーズを訳すとき、意味と響きの両方を大事にするタイプだから、直訳と詩的な意訳の両方を提示してみるね。まず日本語の「だんだん」は段階的に増していく様子を示す言葉で、「心惹かれてく」は「心が惹かれていく/惹かれていくようになる」という動きが入っている。だから英語では進行と変化を感じさせる表現が合うと思った。
いくつか候補を並べると、直訳寄りには
Little by little, my heart becomes captivated.
より口語的で自然に聴こえる言い方としては
Little by little, I'm being drawn to you.
詩的・感情的なニュアンスを強めると
Gradually, my heart keeps leaning toward you.
といった具合。僕は2番目を気に入っていて、歌として歌うときのリズムや親しみやすさが出ると思う。最初はそっけない直訳でも、歌のメロディや前後の歌詞に合わせて『I'm slowly falling for you』みたいに少し変えてもいい。どれも元の「だんだん 心惹かれてく」が持つ、時間をかけて徐々に惹かれていく温度感を伝えようとしているよ。聴き手に寄り添う言い回しを選ぶと表情が出ると思う。