最も近いのは 'by a hair’s breadth' でしょう。文字通り「髪の毛一本分の差」という意味で、勝負や結果がごくわずかの差で決まった時にぴったりです。例えば、'He won the race by a hair’s breadth' と言えば、「紙一重の差で勝った」という感じになります。
もう少しカジュアルな場面なら 'by a whisker' もいいですね。これは猫のひげ(whisker)ほど微妙な差というイメージで、スポーツの試合などでよく使われます。'The team escaped defeat by a whisker' と言えば、「チームは紙一重のところで敗北を免れた」という意味になります。
日常生活で使えるシンプルな表現なら 'very close' や 'just barely' も便利です。「試験に紙一重で合格した」なら 'I passed the exam just barely' で十分伝わります。微妙なニュアンスの違いを楽しみながら、状況に合わせて使い分けてみてください。